Penjumlahan deret aritmatik. Mungkin judul ini kurang familiar bagi anak SD, tapi sebenarnya konsepnya sudah banyak diterapkan bagi anak SD terutama mereka yang rajin mengikuti lomba ataupun olimpiade matematika SD. Tak jarang pula konsep ini muncul pada soal-soal lomba maupun olimpiade SMP. Materi teoritisnya sebenarnya diajarkan di jenjang SMP, tepatnya kelas 3 semester 2.
Berawal dari suatu masalah/pertanyaan sederhana seperti contoh berikut:
Bagi kalian yang tahu triknya, soal ini tidaklah sulit, tapi bagi yang belum tahu mereka akan kerepotan, apalagi kalau kita harus mengajarkannya pada siswa SD. Diperlukan suatu pendekatan yang tepat agar siswa tidak hanya mendapat rumus tetapi tahu bagaimana proses sebenarnya. Bagi penulis ini akan lebih bermakna bagi siswa dibanding dengan mengajarkan rumusnya saja. Rumus mungkin mudah dihafal, tetapi juga mudah dilupakan. Ok, mari lihat penjelasannya!
Untuk mereka yang rajin tidaklah sulit, tinggal jumlahkan saja angka 1+2+3+4+...+100 pasti mendapat jawabannya. Namun, cara ini terlalu lama dan repot diaplikasikan. Bagaimana kalau pertanyaannya "berapakah jumlah bilangan dari 1 sampai 1.000?" atau bahkan sampai 1.000.000? Tentu tidak mungkin siswa harus menjumlah secara manual. Muncullah pertanyaan, "bagaimana caranya agar penjumlahan seperti itu mudah dilakukan?"
Triknya sangat mudah! Agar lebih memahami kita hitung jumlah bilangan dari 1 sampai 10 dulu.
secara manual tentu mudah 1+2+3+...+10 = 55
Perhatikan cara lain berikut!
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
kita tahu bahwa penjumlahan itu bersifat komutatif dan asosiatif a + b = b + a dan (a+b)+c = a+(b+c) (bahasa teori). Mudahnya bilangan yang akan dijumlah itu dapat dijumlahkan secara acak. Contoh 1+2+3= 6, bisa dilakukan dengan menjumlahkan 1+3 dulu baru hasilnya ditambah 2, atau 2+3 dulu baru ditambah 1 semua hasilnya sama. Berdasarkan sifat inilah penjumlahan 1+2+3+...+10 dapat dilakukan dengan cara berikut:
Langkah pertama jumlahkan bilangan pertama dengan bilangan terakhir dari deret tersebut 1 dan 10, setelah itu hapus bilangan awal dan akhir tersebut sisanya 2+3+4+5+6+7+8+9.
Langkah kedua jumlahkan bilangan pertama dan terakhir berikutnya (2 dan 9) kemudian hapus bilangan tersebut, dst secara berurut ditulis sebagai berikut:
Hasilnya:
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
dengan menjumlahkan awal (1) dan akhir bilangan (10), maka diperoleh jumlah =11, dst, diperoleh 5 bilangan 11, langkah berikutnya tinggal dijumlahkan saja 11+11+11+11+11 = 55,
secara sederhana 11x5 = 55
Contoh kedua carilah hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50,
Perhatikan caranya!
kita jumlahkan bilangan pertama dan terakhir 1 + 50 = 51
bilangan pertama dan terakhir berikutnya 2 + 49 = 51, demikian seterusnya pastilah diperoleh jumlah 51. Masalahnya ada berapa bilangan 51 yang harus dijumlah?? seperti pada contoh 1 diperoleh bilangan 11 sebanyak 5, jadi jumlahnya 11x5=55, bagaimana dengan contoh 2???
tidak perlu bingung, bilangan dari 1 sampai 10 ada 10 bilangan. Bayangkan ada 10 anak di kelas dan akan dibentuk kelompok terdiri dari 2 orang, maka akan terbentuk 5 kelompok anak di kelas tersebut. Pada kasus 50 bilangan, bayangkan ada 50 siswa di kelas yang akan dibagi menjadi kelompok terdiri dari 2 orang siswa, maka ada sebanyak 50 : 2 kelompok, yaitu 25. Karena setiap pasang berjumlah 51, maka bilangan 51 ada sebanyak 25.
Jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50 adalah 51x25 = 1275.
misalkan n adalah banyaknya bilangan yang akan dijumlah
secara umum langkah-langkah yang dilakukan adalah
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2)
Maka pertanyaan berapakah hasil penjumlahan bilangan dari 1 sampai 100? Caranya sangat mudah:
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir ( 1 + 100 = 101 )
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2), karena n = 100; maka 101 x (100/2) = 101 x 50 = 5050
Jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 100 adalah 5050.
mudah bukan??
Sekarang coba cari hasil penjumlahan berikut:
1. bilangan dari 1 sampai 1000
2. bilangan dari 1 sampai 5000
3. bilangan dari 1 sampai 1000000
4. bilangan dari 101 sampai 500
5. bilangan genap antara 1 dan 51
6. bilangan ganjl antara 100 dan 500
Tulis hasilnya di kolom komentar yaa! Selamat mencoba
Berawal dari suatu masalah/pertanyaan sederhana seperti contoh berikut:
"Berapakah penjumlahan bilangan dari 1 sampai 100???"
Bagi kalian yang tahu triknya, soal ini tidaklah sulit, tapi bagi yang belum tahu mereka akan kerepotan, apalagi kalau kita harus mengajarkannya pada siswa SD. Diperlukan suatu pendekatan yang tepat agar siswa tidak hanya mendapat rumus tetapi tahu bagaimana proses sebenarnya. Bagi penulis ini akan lebih bermakna bagi siswa dibanding dengan mengajarkan rumusnya saja. Rumus mungkin mudah dihafal, tetapi juga mudah dilupakan. Ok, mari lihat penjelasannya!
Untuk mereka yang rajin tidaklah sulit, tinggal jumlahkan saja angka 1+2+3+4+...+100 pasti mendapat jawabannya. Namun, cara ini terlalu lama dan repot diaplikasikan. Bagaimana kalau pertanyaannya "berapakah jumlah bilangan dari 1 sampai 1.000?" atau bahkan sampai 1.000.000? Tentu tidak mungkin siswa harus menjumlah secara manual. Muncullah pertanyaan, "bagaimana caranya agar penjumlahan seperti itu mudah dilakukan?"
Triknya sangat mudah! Agar lebih memahami kita hitung jumlah bilangan dari 1 sampai 10 dulu.
secara manual tentu mudah 1+2+3+...+10 = 55
Perhatikan cara lain berikut!
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
kita tahu bahwa penjumlahan itu bersifat komutatif dan asosiatif a + b = b + a dan (a+b)+c = a+(b+c) (bahasa teori). Mudahnya bilangan yang akan dijumlah itu dapat dijumlahkan secara acak. Contoh 1+2+3= 6, bisa dilakukan dengan menjumlahkan 1+3 dulu baru hasilnya ditambah 2, atau 2+3 dulu baru ditambah 1 semua hasilnya sama. Berdasarkan sifat inilah penjumlahan 1+2+3+...+10 dapat dilakukan dengan cara berikut:
Langkah pertama jumlahkan bilangan pertama dengan bilangan terakhir dari deret tersebut 1 dan 10, setelah itu hapus bilangan awal dan akhir tersebut sisanya 2+3+4+5+6+7+8+9.
Langkah kedua jumlahkan bilangan pertama dan terakhir berikutnya (2 dan 9) kemudian hapus bilangan tersebut, dst secara berurut ditulis sebagai berikut:
Hasilnya:
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
dengan menjumlahkan awal (1) dan akhir bilangan (10), maka diperoleh jumlah =11, dst, diperoleh 5 bilangan 11, langkah berikutnya tinggal dijumlahkan saja 11+11+11+11+11 = 55,
secara sederhana 11x5 = 55
Contoh kedua carilah hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50,
Perhatikan caranya!
kita jumlahkan bilangan pertama dan terakhir 1 + 50 = 51
bilangan pertama dan terakhir berikutnya 2 + 49 = 51, demikian seterusnya pastilah diperoleh jumlah 51. Masalahnya ada berapa bilangan 51 yang harus dijumlah?? seperti pada contoh 1 diperoleh bilangan 11 sebanyak 5, jadi jumlahnya 11x5=55, bagaimana dengan contoh 2???
tidak perlu bingung, bilangan dari 1 sampai 10 ada 10 bilangan. Bayangkan ada 10 anak di kelas dan akan dibentuk kelompok terdiri dari 2 orang, maka akan terbentuk 5 kelompok anak di kelas tersebut. Pada kasus 50 bilangan, bayangkan ada 50 siswa di kelas yang akan dibagi menjadi kelompok terdiri dari 2 orang siswa, maka ada sebanyak 50 : 2 kelompok, yaitu 25. Karena setiap pasang berjumlah 51, maka bilangan 51 ada sebanyak 25.
Jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 50 adalah 51x25 = 1275.
misalkan n adalah banyaknya bilangan yang akan dijumlah
secara umum langkah-langkah yang dilakukan adalah
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2)
Maka pertanyaan berapakah hasil penjumlahan bilangan dari 1 sampai 100? Caranya sangat mudah:
1. jumlahkan bilangan pertama dan terakhir ( 1 + 100 = 101 )
2. kalikan hasil pada langkah 1 dengan (n/2), karena n = 100; maka 101 x (100/2) = 101 x 50 = 5050
Jadi hasil jumlah bilangan dari 1 sampai 100 adalah 5050.
mudah bukan??
Sekarang coba cari hasil penjumlahan berikut:
1. bilangan dari 1 sampai 1000
2. bilangan dari 1 sampai 5000
3. bilangan dari 1 sampai 1000000
4. bilangan dari 101 sampai 500
5. bilangan genap antara 1 dan 51
6. bilangan ganjl antara 100 dan 500
Tulis hasilnya di kolom komentar yaa! Selamat mencoba
t tu
ReplyDeleteThank penjelasannya sangat jelas dan mudah dipahami
ReplyDelete